Aplicación de Cálculo Integral en Física
Cálculo del Trabajo
El trabajo realizado por una fuerza F que actúa sobre un objeto mientras este se desplaza a lo largo de una trayectoria C se puede calcular usando integrales. Si la fuerza y el desplazamiento son funciones continuas a lo largo del camino, el trabajo W se define como:
Para una fuerza constante en una dirección, esta integral se simplifica a:
El centro de masa de un objeto puede encontrarse usando integrales cuando el objeto tiene una distribución de masa continua. Si un objeto tiene una densidad lineal p(x), el centro de masa x se calcula como:
Momento de
Inercia
El momento de
inercia I de un objeto en rotación se calcula integrando la masa distribuida
del objeto con respecto al eje de rotación. Para un cuerpo continuo, el momento
de inercia se define como:
Donde r es la distancia de un elemento de masa dm al eje de rotaci'on dy V es el volumen del cuerpo.
Cálculo de
Campos Eléctricos y Magnéticos
En la teoría electromagnética, las leyes de Gauss y Ampère se expresan en términos de integrales. Por ejemplo, la ley de Gauss para el campo eléctrico E es:
Donde S es una
superficie cerrada, Q_enc es la carga encerrada por la superficie, y
ϵ_0 es la permitividad del espacio libre.
Ecuaciones de
Movimiento
En mecánica clásica, las ecuaciones de movimiento de un objeto bajo la influencia de una fuerza se pueden encontrar integrando las ecuaciones diferenciales resultantes de la segunda ley de Newton. Por ejemplo, para una partícula de masa m sometida a una fuerza F(t).
Integrar esta
ecuación dos veces respecto al tiempo nos da la posición x(t) como función del
tiempo.
Ejemplo:
Calcular el Trabajo de una Fuerza Variable
Consideremos una fuerza que varía con la posición, F(x)=3x**2. Queremos calcular el trabajo realizado por esta fuerza mientras el objeto se mueve desde x=0 hasta
Así, el trabajo realizado por la fuerza es de 8 julios.
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