Área bajo la curva

El cálculo del área bajo la curva es un problema clásico en el análisis matemático que se resuelve utilizando la integración. Este proceso consiste en encontrar la integral definida de una función f(x) en un intervalo [a,b], lo cual proporciona el área entre la curva f(x), el eje x y las líneas verticales x=a y x=b.

Definición

El área bajo la curva de f(x) desde x=a hasta x=b se calcula mediante la integral definida:

Procedimiento General

1. Definir la función: Identificar la función f(x) y los límites de integración a y b.
2. Configurar la integral definida: Establecer la integral de f(x) desde a hasta b.
3. Calcular la integral: Evaluar la integral definida utilizando técnicas de integración.
4. Interpretar el resultado: El resultado numérico obtenido representa el área bajo la curva.

Ejemplo

Vamos a calcular el área bajo la curva de f(x) = x^2 desde x=0 hasta x=2.

o    Definir la función: f(x) = x^2, con a=0 y b=2.

o    Configurar la integral definida:

Primero, encontramos la antiderivada de x^2:

Ahora, evaluamos la integral definida de 0 a 2:

Interpretar el resultado: El área bajo la curva f(x) = x^2 desde x=0 hasta

X=2 es 8/3 unidades cuadradas.

Gráficamente

Gráficamente, esta área corresponde a la región sombreada bajo la curva y = x^2 desde x=0 hasta x=2:

Consideraciones Adicionales

• Si la función f(x) es negativa en alguna parte del intervalo [a,b], la integral calculará el área por debajo del eje x como un valor negativo. En tales casos, para obtener el área total, se debe considerar el valor absoluto de la integral o integrar por separado las partes positivas y negativas.
• Para funciones más complejas, puede ser necesario utilizar técnicas avanzadas de integración, como integración por partes, sustitución trigonométrica o fracciones parciales.

Página Principal