donde 𝐶 es una constante arbitraria denominada constante de integración.

¿Qué es la integración?

Al proceso de encontrar primitivas o antiderivadas se le llama anti derivación o más comúnmente integración. Si una función 𝑓(𝑥) tiene primitiva, es decir, existe 𝐹(𝑥), entonces tiene infinitas primitivas, todas ellas de la forma 𝐹(𝑥)+𝐶. Esto se escribe como:

El símbolo ∫ se conoce como el signo de integral. A la función 𝑓(𝑥) se le llama integrando, mientras que 𝑑𝑥 representa el diferencial de 𝑥 e indica la variable respecto a la cual se está integrando. La constante 𝐶 se le denomina constante de integración.

La expresión

 

se lee: “la integral indefinida de la función 𝑓(𝑥) con respecto a 𝑥”.

La constante de integración

Veamos qué ocurre si a una función primitiva 𝐹(𝑥) se le agrega un término de valor constante 𝐶. Si a la función 𝐹 del ejemplo 1 definida como 𝐹(𝑥)=1/3𝑥^3 se le agrega un término de valor constante, por ejemplo, 𝐶=4, se obtiene la función:

En el ejemplo 1 comprobamos que la función 𝐹(𝑥) definida como 𝐹(𝑥)=1/3 * 𝑥^3 es una primitiva de la función 𝑓(𝑥)=𝑥^2. Veamos entonces que ocurre si ahora derivamos la función   

Como se puede observar, al derivar 𝐹(𝑥)=1/3 * 𝑥^3+4, se obtiene nuevamente la función 𝑓(𝑥)=𝑥^2. Esto indica que 𝐹(𝑥)=1/3*𝑥3+4 también es una primitiva de la función 𝑓(𝑥)=𝑥^2. Este ejemplo ilustra que una función puede tener más de una primitiva. En general, si 𝐹(𝑥) es una primitiva de 𝑓(𝑥) y 𝐶 es una constante de valor real, entonces 𝐹(𝑥)+𝐶 también es una primitiva de 𝑓(𝑥), debido a que la derivada de una constante es cero, es decir,

Propiedades de la integral indefinida

La integral indefinida es una operación matemática que se utiliza para encontrar una función primitiva o antiderivada de una función dada. Las integrales indefinidas tienen tres propiedades básicas que son heredadas de las propiedades de las derivadas. A continuación, te presentamos las propiedades fundamentales de la integral indefinida:

Integral indefinida de una suma de funciones

Propiedad 1. Integral indefinida de una suma de funciones:

Esta propiedad establece que la integral indefinida de la suma de funciones es igual a la suma de las integrales indefinidas de esas funciones. Esta propiedad puede aplicarse a más de dos funciones. De manera más precisa:

Propiedad 2. Integral indefinida de una diferencia de funciones:

Esta propiedad establece que la integral indefinida de una diferencia de funciones es igual a la diferencia de las integrales indefinidas de cada función. Esta propiedad puede aplicarse a más de dos funciones. De manera más precisa:

Integral indefinida del producto de una constante por una función

Propiedad 3. Integral indefinida del producto de una constante por una función.

Si 𝑘 es una constante de valor real y 𝑓 es una función, entonces:

Esta propiedad establece que la integral indefinida del producto de una constante por una función es igual a la constante multiplicada por la integral indefinida de la función. En otras palabras, un factor constante 𝑘 puede ser sacado del signo de la integral indefinida.

Aplicaciones de la integral indefinida

La integral indefinida es una poderosa herramienta en matemáticas con una amplia gama de aplicaciones. Permite calcular una variedad de magnitudes, como áreas, volúmenes, longitudes de curvas, trabajo realizado por una fuerza, masa de sólidos, momentos de inercia, campo eléctrico, flujo de fluidos a través de superficies, entre otras.

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