Integración por método por partes
El método
de integración por partes permite calcular la integral de un
producto de dos funciones aplicando la fórmula:
Derivación
de la Fórmula de Integración por Partes
Partimos de la regla del producto para derivadas:
Si integramos ambos lados con respecto a x, obtenemos:
La integral del lado izquierdo se simplifica a uv:
Reorganizando para obtener la fórmula de integración por partes:
Aplicación
del Método de Integración por Partes
o Identificar u y dv: Selecciona u y dv de la integral original
∫u dv de manera que du y v sean fáciles de
calcular.
o Calcular du: Deriva u para obtener du.
o Calcular v: Integra dv para obtener v.
o Aplicar la fórmula: Sustituye u, v, du y dv en la fórmula ∫u dv=uv−∫v du
Consejos para Elegir u y dv
- LIATE: Un acrónimo útil para elegir u es
LIATE, que significa Logaritmos, Inversas trigonométricas, Algebraicas,
Trigonométricas y Exponenciales. Se sugiere elegir u siguiendo este orden
de prioridad.
Caso 1:
o Identificar u y dv:
u = x
dv
= e^x dx
o
Calcular du:
du = dx
o Calcular v:
v = ∫e^x
dx=e^x
o
Aplicar
la fórmula:
- ∫x e^x dx = x e^x−∫e^xdx
- ∫x e^x dx = x e^x−e^x + C
- ∫x e^x dx = e^x(x-1) + C
Conclusión
Las integrales son una herramienta poderosa en matemáticas,
con aplicaciones en muchos campos. Al dominar las integrales indefinidas,
definidas y por partes, puedes resolver una amplia variedad de problemas.
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