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Longitud de Arco

La longitud de arco, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron utilizados varios métodos para curvas específicas. La llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos.

Cálculo mediante integrales

Al considerar una curva definida por una función f(x) y su respectiva derivada f’(x) que son continuas en un intervalo [a,b], la longitud s del arco delimitado por a y b es dada por la ecuación:

En el caso de una curva definida paramétricamente mediante dos funciones dependientes de t como :

la longitud del arco desde el punto

hasta el punto

se calcula mediante:

Si la función está definida por coordenadas polares donde la coordenadas radial y el ángulo polar están relacionados mediante r=f(0), la longitud del arco comprendido en el intervalo [ a,B], toma la forma:

En la mayoría de los casos, no hay una solución cerrada disponible y será necesario usar métodos de integración numérica. Por ejemplo, aplicar esta fórmula a la circunferencia de una elipse llevará a una integral elíptica de segunda especie. Entre las curvas con soluciones cerradas están la catenaria, el círculo, la cicloide, la espiral logarítmica, la parábola, la parábola semicúbica y la línea recta.

Un caso un poco más general que el último, es el caso de coordenadas curvilíneas generales (e incluso el de espacios no euclídeos) caracterizadas por un tensor métrico 𝑔𝑖𝑘g_ik donde la longitud de una curva 𝐶:[𝑎,𝑏]→𝑀C: [ a, b] --> M viene dada por: