Parcial 2

Integración por Fracciones Parciales     

La integración por fracciones parciales es una técnica útil para evaluar integrales de funciones racionales, es decir, cocientes de polinomios. Este método descompone una función racional en una suma de fracciones más simples, que son más fáciles de integrar. A continuación, se explica en detalle el proceso, junto con conceptos, pasos y ejemplos.

Procedimiento General

Para ilustrar el método, consideremos una función racional P(x)/Q(x)​ donde P(x) y Q(x) son polinomios. Asumimos que el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x). Si no es así, primero debemos realizar una división larga de polinomios.

o    Factorización de Q(x): Factoriza el denominador Q(x) en productos de factores lineales y/o cuadráticos irreducibles.

o    Escribir la Descomposición en Fracciones Parciales: Escribe P(x)/Q(x)​ como una suma de fracciones parciales. La forma de la descomposición depende de los factores del denominador.

- Para cada factor lineal distinto (ax+b), se incluye un término de la forma A/ax+b​.

- Para cada factor lineal repetido0 (ax + b)^n, se incluye una suma de términos de la forma A_1/ax+b + A_2/(ax+b)^2 + …… + A_n/(ax + b)^n

- Para cada factor cuadrático irreducible distinto (ax^2 + bx + c), se incluye un término de la forma Ax + B/ax^2 + bx + c

- Para cada factor cuadrático irreducible repetido (ax^2 + bx + c)^n, se incluye una suma de términos de la forma A_1x + B_1/ax^2 + bx + c + A_2x + B_2/(ax^2 + bx + c)^2 +…+ A_nx + B_n/(ax^2 + bx + c)^n

Determinar las Constantes: Multiplica ambos lados de la ecuación por Q(x) para eliminar los denominadores y obtener una ecuación polinómica. Luego, iguala los coeficientes de los términos correspondientes en ambos lados para encontrar las constantes A, B, etc.

Integrar Cada Término: Integra cada fracción parcial individualmente. Las integrales resultantes serán generalmente logarítmicas para los factores lineales y arctangenciales o logarítmicas para los factores cuadráticos.

Ejemplo

Consideremos la integral:

Descomposición en Fracciones Parciales:

Escribimos:

Determinar las Constantes:

Multiplicamos ambos lados por (x−1)(x+2):

2x+3=A(x+2)+B(x−1)

Para encontrar A y B, igualamos los coeficientes de los términos en ambos lados:

2x+3=Ax+2A+Bx−B

2x+3=(A+B)x+(2A−B)

Esto nos da dos ecuaciones:

A+B=2

2A−B=3

Resolviendo este sistema de ecuaciones, obtenemos:

A=1 B=1

Por lo tanto:

Integrar Cada Término:

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